[2017년 백석고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: lim_n->inf { { 3 times 7 ^n+1 -7} over { 7^n}]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: -21]	② [eqn: -7]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 21]

두 수열 [eqn: left{ a_n right }], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: lim_n->inf{a_n} = inf], [eqn: lim_n->inf{(a_n -2b_n ) =3`]일 때, 수열 [eqn: left{ { a_n +b_n} over {a_n -3b_n }right}]의 극한값은?  [4.2점]

②

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x)= {cases{4x ^{2} -9x&```(x LEQ a)#11x-25&```(x>a)}}] 가 모든 실수 [eqn: x]에 대해서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? [4.2점]

①

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

[eqn: lim_x->2 { { x^2 +ax+b} over {x-2 }=7]일 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) [4.2점]

④

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

두 수열 [eqn: left{ a_n right }], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 항상 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.6점]

①

ㄱ. [eqn: sum_n=1 ^inf {a_n]이 수렴하면 [eqn: sum_n=1 ^inf {a_2n]도 수렴한다.

ㄴ. [eqn: sum_n=1 ^inf {a_n}b_n]이 수렴하고 [eqn: lim_n->inf{a_n != 0]이면

[eqn: lim_n->inf {b_n =0]이다.

ㄷ. [eqn: sum_n=1 ^inf {a_n]과 [eqn: sum_n=1 ^inf {(a_n +b_n )]이 수렴하면

[eqn: sum_n=1 ^inf {b_n]도 수렴한다.
ㄹ. 두 등비급수 [eqn: sum_n=1 ^inf {a_n], [eqn: sum_n=1^inf {b_n]이 발산하면

[eqn: lim_n->inf {(a_n +b_n ) != 0]이다.

① ㄷ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄹ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 3} {{f(x-3)} over {x ^{2} -2x-3} =1]일 때, [eqn: lim_x->0 { { 2x^2 -4xf(x)} over {3xf(x) -5x^2 }]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim_x->0{ { sqrt { x^2 -ax +4a^2}-2a } over {x }]의 값이 존재하지 않기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? [4.6점]

④

① [eqn: a>1]	② [eqn: a ge0]	③ [eqn: a<1]
④ [eqn: a le 0]	⑤ [eqn: a<2]

연속함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(1) =4], [eqn: f(3) =k^2 +4k -2], [eqn: f(5) =15]이다. 방정식 [eqn: f(x) =2x]가 구간 [eqn: (1,```3)], [eqn: (3,```5)]에서 각각 적어도 하나의 실근을 가지도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [4.6점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

각 항이 실수인 두 수열 [eqn: left{ a_n right }], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 복소수 [eqn: z_n]을 다음과 같이 정의한다.
[eqn: z_1 =2 -3 i], [eqn: z _{n} =a _{n} +b _{n} i(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]
모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: z_n+1 =(3-2i)z_n +2bar{z_n]이 성립할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n} +b _{n}} over {3 ^{n+1} -1} }]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt { -1 }]이고, [eqn: bar{z]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.9점]

③

① [eqn: -3]	② [eqn: -{1 } over {3 }]	③ [eqn: -{ 1} over {9 }]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmA_1]에 대하여 [eqn: RMA_1]의 각 변의 중점을 연결하여 만든 정육각형을 [eqn: RMA_2]라 할 때, [eqn: RMA_1]의 내부와 [eqn: RMA_2]의 외부의 공통범위를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: RMR_1]이라 하자. 그림 [eqn: RM R_1]에 [eqn: RMA_2]의 각 변의 중점을 연결하여 만든 정육각형을 [eqn: RMA_3]라 하고 [eqn: RMA_3]의 각 변의 중점을 연결하여 만든 정육각형을 [eqn: RMA_4]라 할 때, [eqn: RMA_3]의 내부와 [eqn: RMA_4]의 외부의 공통범위를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: RMR_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: {rmR}_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf {{S_n]의 값은? [4.9점]

③

① [eqn: { sqrt { 3} } over { 2}]	② [eqn: { 3 sqrt { 3} } over {4 }]	③ [eqn: { 6 sqrt { 3} } over {7 }]
④ [eqn: sqrt { 3}]	⑤ [eqn: { 3 sqrt { 3} } over {2 }]

함수 [eqn: f(x) = cases{ x+2&```(x le 0)# - { 1} over {3 }x +5 &```(x>0 ) }]에 대하여 함수 [eqn: f(x) f(x-a)]가 [eqn: x=a]에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은? [4.9점]

②

① [eqn: -60]	② [eqn: -30]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 60]

각 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right}]이
[eqn: log_0.6 {a_1 + log _0.6 a_2 + cdots +log_0.6 a_n =n^2 -n +1 (n=1,```2,```3,```cdots)]
을 만족시킨다. [eqn: sum_n=1 ^inf {a_n = { b} over {a }]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [4.9점]

⑤

① [eqn: 8]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 93]
④ [eqn: 127]	⑤ [eqn: 173]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 다음과 같이 제[eqn: n]행에는 [eqn: a_n]을 [eqn: 2n]개 나열한다.

제[eqn: 1]행	[eqn: a_1 ~~a_1]
제[eqn: 2]행	[eqn: a_2 ~~a_2 ~~a_2 ~~a_2]
제[eqn: 3]행	[eqn: a_3 ~~a_3 ~~a_3 ~~a_3 ~~a_3 ~~a_3]
[eqn: VDOTS~~~~~~~vdots]
제[eqn: n]행	[eqn: a_n ~~a_n ~~a_n ~~a_n~~ cdots cdots a_n]

제[eqn: 1]행부터 제[eqn: n]행까지 나열된 모든 항들의 총합이
[eqn: n(n+1)(n+2)]일 때, [eqn: sum_n=1 ^inf { { 1} over { a_n a_n+1 } = { a} over {b }]이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [4.9점]

②

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 22]

최고차항의 계수가 모두 [eqn: 2]인 두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(6)`]의 값은? [4.9점]

(가) [eqn: f(2) =0]

(나) [eqn: lim _{x -> n} {{g(x)} over {f(x)} =(n-2)(n-4)```(n=2,```3,```4,```5)}]

③

① [eqn: 28]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

농도가 [eqn: 30%]인 소금물 [eqn: 1rmkg]이 담긴 비커 [eqn: A]와 빈 비커 [eqn: B]가 있다. 다음과 같은 과정을 (가), (나)의 순서로 [eqn: n]번 반복하였을 때, 비커 [eqn: B]의 소금물의 농도를 [eqn: b_n %]라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}}]의 값은? [5.1점]

④

(가) 비커 [eqn: A]에서 소금물 [eqn: { 1} over {5 }]를 비커 [eqn: B]에 옮겨담는다.

(나) 비커 [eqn: A]에 남은 소금물의 양의 [eqn: 10%]의 물을

비커 [eqn: A]에 추가해서 잘 섞는다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

다음 그림과 같이 [eqn: BAR{RMOP_1 } =5], [eqn: BAR{RMP_1 P_2} =4], [eqn: BAR{RMP_2 P_3 } = { 16} over {5 }], [eqn: cdots],
[eqn: bar{{rm P} _{n} {rmP} _{n+1} it} = {4} over {5} bar{{rm P} _{n-1} {rmP} _{n} it}], [eqn: cdots]이 되도록 점 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: rmP_3], [eqn: cdots], [eqn: {rmP}_n], [eqn: cdots]을 정할 때, 점 [eqn: {rmP}_n]이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 [eqn: (alpha,```beta)]라고 하자. [eqn: alpha +beta]의 값은? [5.1점]
(단, [eqn: angle RMOP_1 P_2 =60 DEG], [eqn: ANGLE {rmP}_n {rmP}_n+1 {rmP}_n+2 =60 DEG (n ge 1)])

④

① [eqn: 5(7+5 sqrt { 3} )} over { 61}]	② [eqn: {5(7+5 sqrt {3} )} over {64}]	③ [eqn: {25(7+ sqrt {3} )} over {61}]

④ [eqn: {25(7+2 sqrt {3} )} over {61}]	⑤ [eqn: {25(7+2 sqrt {3} )} over {64}]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)= sum _{n=1} ^{INF } LEFT { {3(x-2)f(x)} over {(1+|x-2|) ^{n-1}} RIGHT } ```(0<x<4)]
라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [5.1점]

③

① [eqn: -2]	② [eqn: \-1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=4x ^{2} -a ^{2}]이 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: RMABC]에 내접하는 원의 둘레의 길이를 [eqn: s(a)]라 할 때, [eqn: lim_n->inf{ { 4s(a)} over { a}]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수) [5.1점]

①

① [eqn: 4 pi]	② [eqn: 6 pi]	③ [eqn: 8pi]

④ [eqn: 10 pi]	⑤ [eqn: 12 pi]

서술형

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: {rmP}_n]이 [eqn: x]축 위의 점일 때, 점 [eqn: {rm P}_n+1]을 다음 규칙에 따라 정한다. [총 8점]

(1) [eqn: a_n+1 = { 1} over {4 }a_n +1]

(2) [eqn: { 4} over 3{ }]

(가) 점 [eqn: rmP_1]의 좌표는 [eqn: (a_1,``` 0) (0<a_1 <4 )]이다.

(나) (1) 점 [eqn: {rmP}_n]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이

직선 [eqn: y=-x+4]와 만나는 점을 [eqn: {rmA}_n]이라 한다.

(2) 점 [eqn: {rmA}_n]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이

직선 [eqn: y=4x+8]과 만나는 점을 [eqn: {rmB}_n]이라 한다.
(3) 점 [eqn: {rmB}_n]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 [eqn: x]축과

만나는 점을 [eqn: {RMC}_n]이라 한다.

(4) 점 [eqn: {RMC}_n]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을

[eqn: {rmP}_n+1]이라 한다.

(1) 점 [eqn: rmP_n]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1]의 관계식을

쓰고, 그 과정을 서술하시오. [3점]

(2) [eqn: lim_n->inf {a_n `]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [5점]

함수 [eqn: f(x) = { x^2n+4 +ax^2 +bx } over {x^2n+3 +2 }]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이고, 풀이 과정에 [eqn: a]와 [eqn: b]의 값을 각각 명시할 것.) [7점]

[eqn: 4]

[eqn: a=0], [eqn: b=2]

[2017년 백석고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com